El trabajo prehelénico de los Egipcios
y Babilonios, aunque tuvo una ausencia de generalidad y atención a las
características esenciales sobre la naturaleza lógica del pensamiento
matemático y su necesidad de pruebas deductivas, logró un acervo tal de
cálculos y procedimientos concretos, que tuvo sin duda, una clara influencia en
los trabajos iníciales de los filósofos y matemáticos griegos:
Tales de
Mileto. Fue quien inicialmente introdujo los métodos
deductivos – no exentos de cierto empirismo y falta de generalidad- a través de
procesos sistemáticos de abstracción, que ciertamente fueron la base para los Pitagóricos.
Para ellos la perfecta consonancia de la realidad observada con la naturaleza
de los conocimientos matemáticos les llevó a pensar que las matemáticas estaban
en la realidad última, en la esencia del universo y por lo tanto, “un
entendimiento de los principios matemáticos debía preceder cualquier
interpretación válida de la naturaleza”. “Todo es número”. “Dios es un
Geómetra”.
Zenón de
Elea (450 a. de C. aprox.), formuló un buen número
de problemas (paradojas) basados en el infinito.
Para
los antiguos griegos, los números como tales eran razones de números enteros,
por lo que no todas las longitudes eran números. (Existían magnitudes
geométricas que no podían ser medidas por números; números como entidades
discretas vs magnitudes geométricas continuas.)
Eudoxo (408 a. de C. - 355 a. de C.) de Cnido, Asia Menor (Turquía).
– Método
de Exhaución. El método se llama así porque se puede pensar en expandir
sucesivamente áreas conocidas de tal manera que éstas den cuenta ("dejen
exhausta") del área requerida. Cobra importancia como recurso para hacer
demostraciones rigurosas en geometría.
Arquímedes (225 a.de C.) de Siracusa. Hizo una de las más significativas
contribuciones griegas. Su primer avance importante fue mostrar que el área de
un segmento de parábola es 4/3 del área de un triángulo con la misma base y
vértice, y 2/3 del área del paralelogramo circunscrito. Éste es el primer
ejemplo conocido de la adición de una serie infinita. Arquímedes utilizó el
método de exhaución para encontrar una aproximación al área del círculo. Por
supuesto, es un ejemplo temprano de integración, el cual condujo a aproximar
valores de. Entre otras “integrales” calculadas por Arquímedes, están el
volumen y área de una esfera, volumen y área de un cono, área de una elipse,
volumen de cualquier segmento de un paraboloide de revolución y de un segmento
de un hiperboloide de revolución.
La dificultad lógica que enfrentaron
los antiguos matemáticos griegos en sus intentos de expresar sus ideas
intuitivas sobre razones o proporciones de líneas -que vagamente reconocían
como continúas-, en términos de números -los que mantenían como discretos-, los
involucró con un concepto lógicamente insatisfactorio (pero intuitivamente
atractivo): el infinitesimal. La imposibilidad de enfrentarlo ampliamente
originó que los problemas sobre la variación no fueran atacados
cuantitativamente por los matemáticos griegos. Estos problemas fueron retomados
hasta el siglo XIV por los filósofos escolásticos, y su discusión, cualitativa
en gran parte, pero apoyada en demostraciones gráficas, hizo posible la
introducción posterior de la geometría analítica y la representación
sistemática de cantidades variables.
