**El siglo XIX: Cauchy, Riemann y Weierstrass**

Al finalizar el siglo XVIII, los matemáticos habían ya detectado distintas limitaciones

e incongruencias en las bases sobre las que se habıa desarrollado hasta entonces el

calculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la

cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor,

de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases más amplias de funciones que

las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En

ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de

integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para series

de funciones.

El concepto de continuidad de una función aparece explícitamente definido, por

primera vez, en el trabajo del matemático checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero

es el matemático francés Agustín Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su

generalidad la teoría de funciones continúas y formula los conceptos y procesos fundamentales

del cálculo para ese tipo de funciones en los términos en que actualmente

se presentan. En sus tres grandes obras Curso de Análisis (1821), Resumen de Lec-

ciones sobre el Cálculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el Cálculo Diferencial

(1829), Cauchy hace una exposición rigurosa del cálculo basándose en el concepto

fundamental de límite de una función. En particular, define la derivada de una

función como el límite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra

sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a

la aproximación de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios

para la existencia de máximos y mínimos de funciones; define la integral definida

de una función continua en un intervalo mediante el límite de sumas asociadas a

particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda-

mental del cálculo, estableciendo la relación inversa que existe entre los procesos de

derivación e integración de funciones.

El siguiente avance en la evolución histórica del cálculo, se debe a Bernhard F.

Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el

desarrollo del cálculo, extendiendo el proceso de integración a este tipo de funciones,

con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´área y volumen

de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al análisis matemático de bases solidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de los números reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las funciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en casi todos los puntos para toda función continua, son señaladas créticamente y desmentidas por contundentes contraejemplos dados por matemáticos como el mismo Bolzano y el alemán Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran exhibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno.

Ese tipo de situaciones, obliga a los matemáticos al estudio y construcción del sistema de los números reales a partir del sistema de los números naturales. El año de 1872 registra la publicación, casi simultánea, de construcciones de los números reales debidas a Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821-1881), basadas en los conceptos de límite y sucesiones, previamente desarrollados.

Agustín Louis Cauchy (1789-1857)

Bernhard F. Riemann (1826-1866)

Karl Weierstrass (1815-1897)

▒▒▒▒El siglo XVIII: Euler y Lagrange▒▒▒

El siglo XVIII es denominado “El siglo del Análisis Matemático”. De 1700 a 1800 se

dio la consolidación del cálculo y sus aplicaciones a las ciencias naturales, particularmente

a la Mecánica. Con ese desarrollo, vino la especialización y el nacimiento

de nuevas ramas de las matemáticas, tales como: la Teoría de Ecuaciones Diferenciales, ordinarias y parciales, el Cálculo de Variaciones, la Teoría de Series y

la Geómetra Diferencial. Las aplicaciones del análisis incluyen ahora la Teoría de

Vibraciones, la Dinámica de Partículas, la Teoría de Cuerpos Regidos, la Mecánica

de Cuerpos Elásticos y Deformables y la Mecánica de Fluidos. A partir de entonces,

se distinguen las matemáticas puras de las matemáticas aplicadas.

El desarrollo del análisis matemático en el siglo XVIII está documentado en los

trabajos presentados en las Academias de París, Berlín, San Petersburgo y otras, así

como en los tratados expositoras publicados en forma independiente. Las figuras

dominantes de este periodo son el matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783) y

el matemático ítalo - francés Joseph-Louis Lagrange (1736-1813).



Joseph-Louis Lagrange (1736-1813·



 

Leonhard Euler (1707-1783)



││El siglo XVII: Newton y Leibniz ││

El Cálculo Diferencial e Integral ha sido reconocido como el instrumento más efectivo

para la investigación científica que jamás hayan producido las matemáticas.

Concebido para el estudio del cambio, el movimiento y la medición de ´áreas y volúmenes,

el cálculo es la invención que caracteriza la revolución científica del siglo XVII.

Su creación se debe al trabajo independiente de dos matemáticos, el inglés Isaac

Newton (1642-1727) y el alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), quienes

publicaron sus investigaciones entre los años de 1680 y 1690. Leibniz en 1684, en la

revista Acta Eruditorum, y Newton en 1687, en su gran obra Principia MathematicaPhilosophiae Naturalis.   

Gotfried Whilhelm Leibniz (1646–1716)

       


Sir Isaac Newton (1642–1727)



ºº Fundamentos del Câlculo ºº

La invención del Cálculo en el último cuarto del siglo XVII representa un hito

en la historia de las matemáticas; puede decirse con toda certeza que ahí inician

las matemáticas modernas, pues este acontecimiento dio origen al desarrollo de

múltiples ramas de las matemáticas, mantuvo prácticamente la exclusividad del

trabajo de los matemáticos durante un siglo, y aun los ocupa en sus múltiples ramificaciones

y aplicaciones. Antes del Calculo, las matemáticas sólo servían para

describir lo fijo y estático, con ´el se pudo describir el movimiento y lo dinámico;

estableciendo una comparación, podría decirse que antes del Calculo las matemáticas

sólo proporcionaban fotógrafas de la realidad, y después de él, películas. Además

de describir el movimiento, el Cálculo llego para resolver y unificar los problemas de

calculo de ´áreas y volúmenes, el trazo de tangentes a curvas y la obtención de valores

máximos y mínimos, proporcionando una metodóloga general para la solución

de todos estos problemas; también permitió definir el concepto de continuidad y

manejar procesos infinitos. El resultado fue que el Cálculo y sus derivaciones pronto

encontraron múltiples aplicaciones y sirvieron para modelar procesos en todos los

ámbitos científicos, empezando por la física y las ciencias naturales, hasta llegar a

las ciencias sociales. Por todas estas razones, el conocimiento y manejo del Calculo

marca una diferencia cualitativa muy importante en la formación de una persona y en

su capacidad para utilizar las matemáticas en otras ciencias y la ingeniera. Podemos

afirmar, sin lugar a dudas, que un buen curso de Calculo cambia la percepción del

estudiante universitario.

A escala mundial, la enseñanza y el aprendizaje del Calculo Diferencial e Integral

presenta una severa problemática debido a los altos índices de reprobación y

deserción de estudiantes en los cursos básicos de esa materia a nivel de licenciatura.

En términos generales, tanto en los países industrializados como en los países en

desarrollo se reportan ´índices de reprobación y deserción superiores al 50%, lo que

representa un costo muy elevado en recursos y en oportunidades desaprovechadas.

Siendo el Cálculo una disciplina fundamental en la formación de ingenieros,

técnicos y científicos, el problema educativo que presenta nos impulsa a la búsqueda

de estrategias y metodologías, tanto disciplinarias como de carácter pedagógico, que

permitan asegurar estándares apropiados para poblaciones crecientes de estudiantes.

Los malos resultados que se presentan en el aprovechamiento y desempeño escolar

en los cursos de Cálculo se pueden considerar como producto de las dificultades y

características de los conceptos y métodos propios de esta rama de las matemáticas

y de la insuficiencia de profesores y recursos pedagógicos de apoyo a su enseñanza

y aprendizaje. Al masificarse la educación universitaria, la homogenización de los niveles de formación en Calculo Diferencial e Integral a nivel universitario se presenta

como uno de los grandes retos nacionales ante el imperativo de estandarizar la

calidad del sistema educativo y facilitar la integración exitosa de los egresados a los

mercados de profesionistas que soportan el desarrollo económico y social.

|| El câlculo según Newton y Leibnitz ||

El câlculo según Newton

Los trabajos de Newton ocupan, en ediciones modernas, más de cinco mil páginas.
Es imposible dar aquí  un resumen coherente de todos ellos, ni aun solo de los referidos al cálculo infinitesimal, ya que la visión de Newton es general e impone su punto de vista físico o mecánico en todas las  cosas que lleva a cabo en 1666 introdujo las \uxiones", que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas.

Newton imaginaba una curva como una ecuación f(x; y) = 0, donde x e y eran funciones del

tiempo; es decir, partía de la imagen cinemática de curva como trayectoria de un móvil.

La velocidad en cada punto tenía como componentes las velocidades según las direcciones de los ejes:

_x e _y;  funciones que él denominaba /uxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto calculaba el cociente _y=_x. (Hay que señalar que esta notación es posterior.

Newton la uso hacia 1690. De esta manera, calculaba las tangentes fácilmente. Seguidamente se propuso el problema inverso: conocido el cociente f(x) = _y=_x, >como hallar y en función de x? Newton estudio casos particulares de la función f y de las variables que en ella intervienen.

Es lo que hoy se conoce como resolución de ecuaciones diferenciales o anti diferenciación. Newton armaba que de esta manera se podrán resolver todos los problemas, lo cual da idea de su visión de futuro, aun cuando el solo pudiera resolver casos particulares.

Newton desarrollo métodos de derivación e integración; en particular, la regla de la cadena

y el método de sustitución, así como la propiedad de linealidad, y construyo, además, tablas de derivadas e integrales. Como ya se ha comentado, el trabajo de Newton no acaba aquí. En realidad se puede decir que partió de una visión de la naturaleza y construyo el cálculo infinitesimal como una necesidad para explicar y desarrollar esa visión. A este respecto hay que añadir que, desde luego, no era indiferente a los problemas matemáticos de su tiempo, pero tampoco a todos los demás, y a todos dedico parte de sus energías.

El cálculo según Leibnitz

El punto de partida de Leibnitz es distinto al de Newton. _Este parte de ideas físicas, mientras

que aquel lo hace de ideas filosóficas, tratando de buscar un lenguaje universal y, quizás, su mayor contribución al cálculo sea precisamente dicho lenguaje, que aún es usado. Leibnitz creó un lenguaje mediante el cual, por sencillas manipulaciones, se obtienen formulas que resultan ser las verdaderas y que, naturalmente, hay que comprobar.

Ya ha sido comentado que Newton no publicó sus trabajos sobre el cálculo hasta muy posteriormente.

En el caso de Leibnitz la situación es peor todavia, puesto que, prácticamente, ni siquiera

lo escribió en forma ordenada, salvo pequeñas contribuciones. Su Historia y origen del Cálculo Diferencial fue escrito mucho más tarde de su creación. Solo se tienen muchos papeles en los que iba anotando sus ideas y resultados.

Sus primeros estudios matemáticos datan de 1666 y versan sobre progresiones aritméticas de orden superior, en concreto, sobre como la suma de las diferencias está relacionada con los términos de la sucesión. De hecho, este es el origen de su desarrollo del cálculo: obtener y calcular sumas.

Hacia 1673 está convencido de la importancia del problema de las tangentes y del problema

inverso, sobre el cual tiene la certeza de que consiste en hallar áreas y volúmenes. Su primer trabajo sobre el cálculo de áreas lo efectúa integrando las funciones poli nómicas, de las cuales da las reglas de integración; queda claro que entiende la integral como el área bajo la curva y esta como limite de infinitésimos. Además va cambiando la notación continuamente, en busca de la mejor, que es la que hoy en dia se usa.

Interpreta la derivada como el cociente de los infinitésimos dy , dx , aunque es incapaz de aclarar que son dichos infinitésimos. Incluso, en algún momento, llega a escribir que no cree en ellos, a pesar de haber escrito abundantes paginas tratando de Justin Carlos y explicarlos. Al igual que Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes, integración y máximos y minimos. Además es consciente de que el cálculo infinitesimal es una

ruptura con todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno.

Comparación

Es conocida la historia sobre las acusaciones de plagio que sufrió Leibnitz, problemas que no fueron entre Newton y Leibnitz, sino entre sus seguidores y que, más que de índole matemática, fueron problemas de tipo nacionalista entre Inglaterra y el continente. Dejando aparte esas disputas, se va a tratar de dilucidar las diferencias entre las dos aproximaciones.

Hay que dejar claro, de antemano, que los resultados de uno y otro son, prácticamente, los

mismos, aunque originados de distinta manera.

En primer lugar, el trabajo de Newton se basa en las derivadas respecto al tiempo, pues el

origen de sus ideas es físico, como ya se ha comentado. Leibnitz, por el contrario, parte de problemas los (de su busca de los infinitesimales); de  que su trabajo se base en sumas de

infinitesimales. Por esa razón la integral de Newton es originalmente indefinida, mientras que la de Leibnitz es definida. Por supuesto que, al nal, ambos calculan áreas buscando primitivas.

Queda también claro que para Newton las nociones originales son las uxiones _x e _y: las

velocidades según los ejes. Su cociente es la pendiente de la tangente. Contrariamente, para

Leibnitz, las nociones originales son los diferenciales, y su cociente es algo que tiene un significado geométrico claro.

Por otra parte, Newton hace uso continuado de los desarrollos en serie, mientras que Leibnitz

preveré trabajar solo con las funciones conocidas: racionales, logarítmicas y trigonométricas. Esto proviene, otra vez, de los orígenes de las ideas de ambos. El primero es experimental: va buscando buenos resultados, de acuerdo con la experiencia; no busca teorías globales sino resultados concretos.

Contrariamente, el segundo es más dado a la generalización y a la especulación. Newton, a veces, no se preocupa de escribir el resultado de forma general, sino que le basta con varios ejemplos.

Leibnitz hace todo lo contrario.

Dejando aparte estas diferencias, los trabajos de ambos hicieron que la situación matemática

fuera radicalmente diferente a _nales que a principios del siglo XVII. Ambos hicieron posible el paso de una colección anárquica de problemas y métodos de resolución, a un método general para atacar y resolver todos ellos. Además, Newton propició un desarrollo inmenso en la comprensión de la naturaleza y el universo, utilizando el instrumento que había creado a lo largo de sus trabajos.

Habría que añadir, racionalmente, que Leibnitz fue un gran polemista sobre las ideas de sus trabajos, respondiendo continuamente a las acusaciones de oscuridad, falta de rigor y falta de acuerdo con los grandes maestros de la antigüedad; en cambio Newton fue completamente silencioso en ese aspecto.

Origen y Desarrollo Historico del Câlculo¡!

Es tradicional decir que el cálculo infinitesimal se atribuye en concreto a Newton y Leibnitz, habiendo sido el método que ha posibilitado la resolución de un mayor numero de problemas dispares desde su descubrimiento. La situación de los problemas matemáticos a mediados del siglo XVII era aproximadamente la Siguiente:

Además de tener readquiridos los resultados y métodos de la matemática griega, el Desarrollo de la geometría analítica (el método de las coordenadas) habia permitido plantear y Resolver algunos problemas relacionados con curvas, de las cuales se conozcan muchos tipos.

Por Otra parte, la física proporcionaba un punto de vista cinemática: una curva podrá interpretarse como la trayectoria de un punto material móvil. Varios tipos de problemas se planteaban sobre las curvas. Aunque la clasificación existente en Aquel momento era más amplia (pues se utilizaba un método apropiado para cada problema), se Va a simplificar utilizando el punto de vista, e incluso el lenguaje, actuales. El trabajo de Newton y Leibnitz consistió fundamentalmente en efectuar una síntesis, en elaborar un método general para atacarlos todos. Pero también fue un detenerse para recapitular y darse cuenta de que aquel era un buen punto de partida para progresar. En otras palabras, se aprovecho un momento en que habla muchas experiencias y era necesario elaborar la teoría (dicho en términos de ciencia experimental).

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Colegio de Bachilleres 

Plantel 05 Amacuzac. 

  

Profesor: 

Jesús (Chucho) Manzo Espín.

Alumnos:

Michapa (Jose S. Naranjo Melgar).

El Topo ( Angel Martinez Avila).

La Presiiozza!!!!! (Jesus Brito Ocampo).