|| El câlculo según Newton y Leibnitz ||

El câlculo según Newton

Los trabajos de Newton ocupan, en ediciones modernas, más de cinco mil páginas.
Es imposible dar aquí  un resumen coherente de todos ellos, ni aun solo de los referidos al cálculo infinitesimal, ya que la visión de Newton es general e impone su punto de vista físico o mecánico en todas las  cosas que lleva a cabo en 1666 introdujo las \uxiones", que es lo que hoy se conoce con el nombre de derivadas.

Newton imaginaba una curva como una ecuación f(x; y) = 0, donde x e y eran funciones del

tiempo; es decir, partía de la imagen cinemática de curva como trayectoria de un móvil.

La velocidad en cada punto tenía como componentes las velocidades según las direcciones de los ejes:

_x e _y;  funciones que él denominaba /uxiones. Para hallar la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto calculaba el cociente _y=_x. (Hay que señalar que esta notación es posterior.

Newton la uso hacia 1690. De esta manera, calculaba las tangentes fácilmente. Seguidamente se propuso el problema inverso: conocido el cociente f(x) = _y=_x, >como hallar y en función de x? Newton estudio casos particulares de la función f y de las variables que en ella intervienen.

Es lo que hoy se conoce como resolución de ecuaciones diferenciales o anti diferenciación. Newton armaba que de esta manera se podrán resolver todos los problemas, lo cual da idea de su visión de futuro, aun cuando el solo pudiera resolver casos particulares.

Newton desarrollo métodos de derivación e integración; en particular, la regla de la cadena

y el método de sustitución, así como la propiedad de linealidad, y construyo, además, tablas de derivadas e integrales. Como ya se ha comentado, el trabajo de Newton no acaba aquí. En realidad se puede decir que partió de una visión de la naturaleza y construyo el cálculo infinitesimal como una necesidad para explicar y desarrollar esa visión. A este respecto hay que añadir que, desde luego, no era indiferente a los problemas matemáticos de su tiempo, pero tampoco a todos los demás, y a todos dedico parte de sus energías.

El cálculo según Leibnitz

El punto de partida de Leibnitz es distinto al de Newton. _Este parte de ideas físicas, mientras

que aquel lo hace de ideas filosóficas, tratando de buscar un lenguaje universal y, quizás, su mayor contribución al cálculo sea precisamente dicho lenguaje, que aún es usado. Leibnitz creó un lenguaje mediante el cual, por sencillas manipulaciones, se obtienen formulas que resultan ser las verdaderas y que, naturalmente, hay que comprobar.

Ya ha sido comentado que Newton no publicó sus trabajos sobre el cálculo hasta muy posteriormente.

En el caso de Leibnitz la situación es peor todavia, puesto que, prácticamente, ni siquiera

lo escribió en forma ordenada, salvo pequeñas contribuciones. Su Historia y origen del Cálculo Diferencial fue escrito mucho más tarde de su creación. Solo se tienen muchos papeles en los que iba anotando sus ideas y resultados.

Sus primeros estudios matemáticos datan de 1666 y versan sobre progresiones aritméticas de orden superior, en concreto, sobre como la suma de las diferencias está relacionada con los términos de la sucesión. De hecho, este es el origen de su desarrollo del cálculo: obtener y calcular sumas.

Hacia 1673 está convencido de la importancia del problema de las tangentes y del problema

inverso, sobre el cual tiene la certeza de que consiste en hallar áreas y volúmenes. Su primer trabajo sobre el cálculo de áreas lo efectúa integrando las funciones poli nómicas, de las cuales da las reglas de integración; queda claro que entiende la integral como el área bajo la curva y esta como limite de infinitésimos. Además va cambiando la notación continuamente, en busca de la mejor, que es la que hoy en dia se usa.

Interpreta la derivada como el cociente de los infinitésimos dy , dx , aunque es incapaz de aclarar que son dichos infinitésimos. Incluso, en algún momento, llega a escribir que no cree en ellos, a pesar de haber escrito abundantes paginas tratando de Justin Carlos y explicarlos. Al igual que Newton, resuelve en uno solo todos los problemas que estaban abiertos: tangentes, integración y máximos y minimos. Además es consciente de que el cálculo infinitesimal es una

ruptura con todo lo precedente, en el sentido de que es un paso adelante sin retorno.

Comparación

Es conocida la historia sobre las acusaciones de plagio que sufrió Leibnitz, problemas que no fueron entre Newton y Leibnitz, sino entre sus seguidores y que, más que de índole matemática, fueron problemas de tipo nacionalista entre Inglaterra y el continente. Dejando aparte esas disputas, se va a tratar de dilucidar las diferencias entre las dos aproximaciones.

Hay que dejar claro, de antemano, que los resultados de uno y otro son, prácticamente, los

mismos, aunque originados de distinta manera.

En primer lugar, el trabajo de Newton se basa en las derivadas respecto al tiempo, pues el

origen de sus ideas es físico, como ya se ha comentado. Leibnitz, por el contrario, parte de problemas los (de su busca de los infinitesimales); de  que su trabajo se base en sumas de

infinitesimales. Por esa razón la integral de Newton es originalmente indefinida, mientras que la de Leibnitz es definida. Por supuesto que, al nal, ambos calculan áreas buscando primitivas.

Queda también claro que para Newton las nociones originales son las uxiones _x e _y: las

velocidades según los ejes. Su cociente es la pendiente de la tangente. Contrariamente, para

Leibnitz, las nociones originales son los diferenciales, y su cociente es algo que tiene un significado geométrico claro.

Por otra parte, Newton hace uso continuado de los desarrollos en serie, mientras que Leibnitz

preveré trabajar solo con las funciones conocidas: racionales, logarítmicas y trigonométricas. Esto proviene, otra vez, de los orígenes de las ideas de ambos. El primero es experimental: va buscando buenos resultados, de acuerdo con la experiencia; no busca teorías globales sino resultados concretos.

Contrariamente, el segundo es más dado a la generalización y a la especulación. Newton, a veces, no se preocupa de escribir el resultado de forma general, sino que le basta con varios ejemplos.

Leibnitz hace todo lo contrario.

Dejando aparte estas diferencias, los trabajos de ambos hicieron que la situación matemática

fuera radicalmente diferente a _nales que a principios del siglo XVII. Ambos hicieron posible el paso de una colección anárquica de problemas y métodos de resolución, a un método general para atacar y resolver todos ellos. Además, Newton propició un desarrollo inmenso en la comprensión de la naturaleza y el universo, utilizando el instrumento que había creado a lo largo de sus trabajos.

Habría que añadir, racionalmente, que Leibnitz fue un gran polemista sobre las ideas de sus trabajos, respondiendo continuamente a las acusaciones de oscuridad, falta de rigor y falta de acuerdo con los grandes maestros de la antigüedad; en cambio Newton fue completamente silencioso en ese aspecto.