e incongruencias en las bases sobre las que se habıa desarrollado hasta entonces el
calculo diferencial e integral. Los trabajos de Jean D’Alembert (1717-1783) sobre la
cuerda vibrante y de Joseph Fourier (1768-1830) sobre la Teoría Analítica del Calor,
de 1807, remitían a la necesidad de considerar clases más amplias de funciones que
las meramente representables como series de potencias a la manera de Lagrange. En
ese momento, emerge la necesidad de aclarar las propiedades de continuidad y de
integrabilidad de las funciones, así como las condiciones de convergencia para series
de funciones.
El concepto de continuidad de una función aparece explícitamente definido, por
primera vez, en el trabajo del matemático checo Bernhard Bolzano (1781-1848), pero
es el matemático francés Agustín Louis Cauchy (1789-1857) quien desarrolla en su
generalidad la teoría de funciones continúas y formula los conceptos y procesos fundamentales
del cálculo para ese tipo de funciones en los términos en que actualmente
se presentan. En sus tres grandes obras Curso de Análisis (1821), Resumen de Lec-
ciones sobre el Cálculo Infinitesimal (1822) y Lecciones sobre el Cálculo Diferencial
(1829), Cauchy hace una exposición rigurosa del cálculo basándose en el concepto
fundamental de límite de una función. En particular, define la derivada de una
función como el límite de cocientes de los incrementos de las variables y demuestra
sus distintas propiedades; presenta el teorema del valor medio y sus aplicaciones a
la aproximación de funciones por polinomios; establece rigurosamente los criterios
para la existencia de máximos y mínimos de funciones; define la integral definida
de una función continua en un intervalo mediante el límite de sumas asociadas a
particiones de ese intervalo; y formula, con todo rigor, el llamado teorema funda-
mental del cálculo, estableciendo la relación inversa que existe entre los procesos de
derivación e integración de funciones.
El siguiente avance en la evolución histórica del cálculo, se debe a Bernhard F.
Riemann (1826-1866), quien introdujo las funciones esencialmente discontinuas en el
desarrollo del cálculo, extendiendo el proceso de integración a este tipo de funciones,
con importantes consecuencias sobre los conceptos primarios de longitud, ´área y volumen
de conjuntos. A pesar de los grandes esfuerzos por dotar al análisis matemático de bases solidas, a mediados del siglo XIX varias suposiciones sobre la estructura de los números reales utilizadas en la prueba de las propiedades importantes de las funciones continuas, y otras suposiciones, como por ejemplo la existencia de derivada en casi todos los puntos para toda función continua, son señaladas créticamente y desmentidas por contundentes contraejemplos dados por matemáticos como el mismo Bolzano y el alemán Karl Weierstrass (1815-1897) quienes, por ejemplo, logran exhibir funciones continuas que no poseen derivada en punto alguno.
Ese tipo de situaciones, obliga a los matemáticos al estudio y construcción del sistema de los números reales a partir del sistema de los números naturales. El año de 1872 registra la publicación, casi simultánea, de construcciones de los números reales debidas a Georg Cantor (1845-1918), Richard Dedekind (1831-1916) y Edward Heine (1821-1881), basadas en los conceptos de límite y sucesiones, previamente desarrollados.
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| Agustín Louis Cauchy (1789-1857) |
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| Bernhard F. Riemann (1826-1866) |
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| Karl Weierstrass (1815-1897) |
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