Finalmente, es necesario
decir que el siglo XX registra dos nuevos avances en el
desarrollo del análisis: la
integral de Lebesgue, debida al francés Henri Lebesgue
(1875-1941), y el Análisis
no-Estándar, debido básicamente a Abraham Robinson
(1918-1974).
El concepto de integral
desarrollado por Cauchy se aplica a funciones continuas,
pero aunque ´este fue
generalizado después, por Riemann, a funciones con cierto tipo
de discontinuidades, el
espacio de las funciones integrables no es cerrado bajo los
procesos de convergencia y
de límite de sucesiones de funciones, lo que restringe su
aplicabilidad a otras ramas
de la matemática.
Basado en trabajos del
italiano Giuseppe Peano (1858-1932) y del francés Camille
Jordan (1838-1922), Henri
Lebesgue logro dar, en 1920, una definición de conjunto
medible y de medida que
generalizan, en la recta, las nociones de intervalo y de
longitud de un intervalo,
respectivamente. Con base en estos nuevos conceptos,
Lebesgue introdujo una
nueva clase de funciones llamadas funciones medibles, para
las cuales adquiere sentido
una nueva definición de integral, definida como el límite
de integrales de funciones
que toman valores constantes en conjuntos medibles. En
este sentido, la integral de
Lebesgue es una generalizacion de la integral de Riemann,
que se obtiene como el
límite de integrales de funciones que toman valores constantes
sobre intervalos.
La clase de las funciones
integrables en el sentido de Lebesgue tiene propiedades
inmejorables para los propósitos
del análisis matemático en tanto que límites
de sucesiones y series
convergentes de funciones de este tipo resultan ser también
funciones integrables. La
nueva teoría de la medida e integración sienta las bases para el desarrollo de
la Teoría Matemática de la Probabilidad y la Estadística, que
tanta importancia tienen en
la ciencia actual.
El otro desarrollo importante
del análisis del siglo XX fue presentado en 1960 por
Abraham Robinson, seguido
de su libro Análisis no Estándar, en el que se retoma
el problema de la
aritmetizacion del análisis a partir del concepto de numero y de
magnitud infinitamente pequeña.
A partir de construcciones basadas en la teoría
de conjuntos, Robinson
introdujo el concepto de numero hiperreal con lo que logra
dar un significado preciso
a los “infinitamente pequeños” que Euler usaba en sus
argumentos y demostraciones.
Con ello, los procesos de límite y de convergencia del
análisis son sustituidos
por operaciones y procedimientos meramente algebraicos en
la clase de los números
hiperreales.
Aunque la nueva formulación
de Robinson da lugar a un cálculo más simple, la
construcción de los números
hiperreales es muy elaborada y los libros en los que se
expone el cálculo no
estándar no han logrado tener éxito en los niveles matemáticos
medio y básico.
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| Henri Lebesgue (1875–1941) |
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| Abraham Robin (1918–1974) |
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